Информационные системы, математика, физика. Тер. механика

Надежность информационных систем

Расчет характеристик надежности

• Критерии и количественные характеристики надежности Критерием надежности назовем признак, мерило, по которому оценивается надежность различных изделий.
• Рассмотрим следующую модель испытаний Пусть на испытании находится N 0 изделий, и пусть испытания считаются законченными, если все они отказали.
• Среднея наработка до первого отказа называется математическое ожидание времени работы изделия до отказа.
• Основные соотношения для количественных характеристик надежности

Критерии надежности восстанавливаемых изделий

• Рассмотрим следующую модель испытания Пусть на испытании находится N изделий и пусть отказавшие изделия немедленно заменяются исправными (новыми или отремонтированными)
• Коэффициент готовности отношение времени исправной работы к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
• Физический смысл коэффициента готовности

Типовые примеры и их решения

• Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп типа 6Ж4. За 3000 час отказало 80 ламп. Требуется определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп в течение 3000 час.
• На испытание было поставлено 1000 однотипных ламп. За первые 3000 час отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000 – 4000 час отказало еще отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту и интенсивность отказов электронных ламп в промежутке времени 3000 – 4000 час.
• На испытание поставлено изделий. За время t =3000 час отказало n ( t )=200 изделий, за интервал времени час отказало изделий (рис. 1.3). Требуется определить
• На испытании находилось образцов неремонтируемой аппаратуры. Число отказов фиксировалось через каждые 100 час работы
• В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного экземпляра радиолокационной станции.
• Производилось наблюдение за работой трех экземпляров однотипной аппаратуры. За период наблюдения было зафиксировано по первому экземпляру аппаратуры 6 отказов, по второму и третьему – 11 и 8 отказов соответственно.
• Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы.
•  За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов.
• При эксплуатации системы .было зарегистрировано n =40 отказов
• Аппаратура имела среднюю наработку на отказ t ср = 65 час и среднее время восстановления t в =1,25 час. Требуется определить коэффициент готовности.
• Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром
• Пусть время работы элемента до отказа подчинено усеченному нормальному закону с параметрами Требуется вычислить количественные характеристики надежности P ( t ), a ( t ), l ( t ), T ср для t = 4000, 6000, 8000, 10000 час .
• Время работы изделия до отказа (например, некоторых электровакуумных приборов) подчиняется закону распределения Релея.
• Время безотказной работы элементов подчинено экспоненциальному закону с = 3 ? 10 1/час, а время работы изделия t = 20 000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности резервированного изделия при общем ненагруженном резервировании замещением с кратностью m = 3.
• Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла с параметрами k = 1,5 а время его работы t = 100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности такого устройства.
• Допустим, что в результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде

Расчет характеристики надежности невосстанавливаемых изделий

Интенсивность отказов элементов при эксплуатации в реальных условиях

Окончательный расчет надежности на этапе технического проектирования изделия

Аналогично находятся доверительные пределы и для других характеристик надежности

Расчет надежности изделия целесообразно проводить в следующем порядке

Составляется таблица расчета интенсивности отказов изделия

Рассчитываются количественные характеристики надежност

Расчет характеристик надежности невостанавливаемых резервированных изделий

Методы расчета

• Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью
• Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью
• Общее резервирование замещением с целой кратностью
• Раздельное резервирование замещением с целой кратностью
• Общее резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным резервом
• При экспоненциальном законе надежности
• Среднее время безотказной работы системы

Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия

• Теоретические сведения
• На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп, за 3000 час. отказало 80 ламп. Требуется определить P*(t), q*(t) при t = 3000 час. 
• На испытание было поставлено 1000 однотипных ламп. За первые 3000 час. отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000 - 4000 час. отказало еще 50 ламп. Требуется определить статистическую оценку частоты и интенсивности отказов элвктронных ламп в промежутке времени 3000 - 4000 час. 
• На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3000 час отказало 200 изделий, т.е. n(t) = 400-200=200.За интервал времени (t, t+Dt) , где Dt= 100 час, отказало 100 изделий, т.е. Dn(t)= 100. Требуется определить Р*(3000), 
• На испытание поставлено 6 однотипных изделий. Получены следующие значения ti  (ti - время 6езотказной работы i- го изделия) : t1 =280 час; t2 = 350 час; t3 =400 час; t4 =320 час; t5 =380 час; t6 =330 час. 
• За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 7 отказов. Время восстановления составило: t1 =12мин.; t2=23мин.; t3 =15мин.; t4=9мин.; t5=17мин.; t6=28мин.; t7=25мин.; t8=31мин.
• В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования получены данные до первого отказа .всех 45 образцов

Аналитическое определение количественных характеристик надёжности изделия

• Теоретические сведения
• Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром l=2.5·10^-5  1/час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),m_t для t=1000час. 
• Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m_t =8000 час, s_t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t),f(t),l(t),m_t  для t=10000 час. 
• Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),l(t),m_t для t=1000час ,если параметр распределения s_t=1000 час. 
• Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k=1.5; a=10^-4  1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),l(t),m_t
• В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде 

Последовательное соединение элементов в систему

Теоретические сведения

• Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна l₁=0,16*10^-3 1/час = const.  Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами l₂=0,23*10^-4t 1/час, l₃=0,06*10^-6t^2,6  1/час.
• Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно : m_t1=160 час; m_t2 =320 час; m_t3 = 600 час. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.
• Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых l_ср=0,32*10^-6 1/час. Требуется определить P_c(t), q_c(t), f_c(t), m_tc, для t=50 час.
• Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 час равны: Р₁(100) = 0,95; Р₂(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы.  

Расчет надежности системы с постоянным резервированием

Теоретические сведения

• При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем
• Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность
• Решение типовых задач
• Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны.
• В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала l=10^-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р_с(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов l_с(t) системы.
• Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов.

  Резервирование замещением в режиме облегченного ( теплого) резерва и в режиме ненагруженного

Теоретические сведения

• Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны.
• Радиопередатчик имеет интенсивность отказов l₀=0,4*10^-3  1/час. Его дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного передатчика в режиме ожидания (в режиме облегченного резерва).
• Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в переменный в течении времени t=1000 час. равна 0,95, т. е. Р(1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь,  который включается в работу при отказе первого (режим ненагруженного резерва).

Задачи для самостоятельного решения

Расчет надежности системы с поэлементным резервированием

Теоретические сведения

• Для повышения надежности усилителя все его элементы дублированы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Необходимо найти вероятность безотказной работы усилителя в течение t =5000 час
• Схема расчета надежности резервированного устройства приведена . Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения : l₁=0,23*10^-3 1/час; l₂=0,5*10^-4 1/час; l₃=0,4*10^-3 1/час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы.
• Схема расчета надежности устройства приведен Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности, для элементов устройства и все элементы устройства равнонадежны.
• Нерезервированная система управления состоит из n=5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести раздельное дублирование элементов.

Задачи для самостоятельного решения

Резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным резервом

Теоретические сведения.

Система электроснабжения блока ЭВМ состоит из четырех генераторов, номинальная мощность каждого из которых 18 квт. Безаварийная работа блока еще возможна, если система электроснабжения может обеспечивать потребителя мощностью 30 квт.

Для повышения точности измерения некоторой величины применена схема группирования приборов из пяти по три, .т.е. результат измерения считается верным по показанию среднего (третьего) прибора

Задачи для самостоятельного решения

Скользящее резервирование при экспоненциональном законе надежности

Теоретические сведения.

Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее надежности конструктор предложил скользящее резервирование при одном резервном элементе, находящемся в ненагруженном состоянии. Интенсивность отказов элемента равна l .

Цифровая вычислительная машина состоит из 1024 однотипных ячеек и сконструирована так, что есть возможность заменить любую из отказавших ячеек. В составе ЗИП имеется 3 ячейки, каждая из которых может заменить любую отказавшую. Требуется определить вероятность безотказной работы ЦВМ P_c(t) , среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов l_c(t).

Задачи для самостоятельного решения

Расчет показателей надежности резервированных устройств с учетом восстановления

Теоретические сведения

Особенности расчета резервированных систем

Вероятность безотказной системы работы

Задачи для самостоятельного решения

Основы оптической и квантовой физики. Полупроводники

Механические и электромагнитные колебания Гармонические колебания и их характеристики Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи.

Переменный ток Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).

Волновые процессы.Продольные и поперечные волны Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Звуковые волны Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16—20 000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с n < 16 Гц (инфразвуковые) и n > 20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

Экспериментальное получение электромагнитных волн Существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью, — вытекает из уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла сформулированы в 1865 г. на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Как уже указывалось, решающую роль для утверждения максвелловской теории сыграли опыты Герца (1888), доказавшие, что электрические и магнитные поля действительно распространяются в виде воли, поведение которых полностью описывается уравнениями Максвелла.

Квантовая природа света

Интерференция света Развитие представлений о природе света Основные законы оптики известны еще с древних веков. Так, Платон (430 г. до н. э.) установил закон прямолинейного распространения и закон отражения света. Аристотель (350 г. до н. э.) и Птоломей изучали преломление света. Первые представления о природе света возникли у древних греков и египтян, которые в дальнейшем, по мере изобретения и усовершенствования различных оптических инструментов, например параболических зеркал (XIII в.), фотоаппарата и микроскопа (XVI в.), зрительной трубы (XVII в.), развивались и трансформировались. В конце XVII в. на основе многовекового опыта и развития представлений о свете возникли две теории света: корпускулярная (И. Ньютон) и волновая (Р. Гук и X. Гюйгенс).

Дифракция света Принцип Гюйгенса — Френеля Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т. е. звуковая волна его огибает.

Взаимодействие электромагнитных волн с веществом

Поляризация света Естественный и поляризованный свет Следствием теории Максвелла является поперечность световых волн: векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости v распространения волны (перпендикулярно лучу). Поэтому для описания закономерностей поляризации света достаточно знать поведение лишь одного из векторов. Обычно все рассуждения ведутся относительно светового вектора — вектора напряженности Е электрического поля (это название обусловлено тем, что при действии света на вещество основное значение имеет электрическая составляющая поля волны, действующая на электроны в атомах вещества).

Квантовая природа излучения Тепловое излучениеи его характеристики Тела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым (температурным) излучением. Тепловое излучение, являясь самым распространенным в природе, совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т. е. за счет его внутренней энергии) и свойственно всем телам при температуре выше 0 К. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, при низких — преимущественно длинные (инфракрасные).

Виды фотоэлектрического эффекта. Законы внешнего фотоэффекта Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения черного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта — явления, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.

Масса и импульс фотона. Давление света

Эффект Комптона и его элементарная теория

Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел Теория атома водорода по Бору Модели атома Томсона и Резерфорда Представление об атомах как неделимых мельчайших частицах вещества («атомос» — неразложимый) возникло еще в античные времена (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В средние века, во времена безграничного господства церкви, учение об атомах, будучи материалистическим, естественно, не могло получить признания, а тем более дальнейшего развития. К началу XVIII в. атомистическая теория приобретает все большую популярность, так как к этому времени в работах А. Лавуазье (1743—1794, французский химик), М. В. Ломоносова и Д. Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако в это время вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал, так как атомы по-прежнему считались неделимыми.

Принцип причинности в квинтовой механике Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинности — принципу классического детерминизма, по известному состоянию системы в некоторый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика основывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причина, а ее состояние в последующий момент — следствие.

Спин электрона. Спиновое квантовое число

Молекулярные спектры. Комбинационное рассеяние света Строение молекул и свойства их энергетических уровней проявляются в молекулярных спектрах — спектрах излучения (поглощения), возникающих при квантовых переходах между уровнями энергии молекул. Спектр излучения молекулы определяется структурой ее энергетических уровней и соответствующими правилами отбора (так, например, изменение квантовых чисел, соответствующих как колебательному, так и вращательному движению, должно быть равно ± 1).

Оптические квантовые генераторы (лазеры) Практически инверсное состояние среды осуществлено в принципиально новых источниках излучения — оптических квантовых генераторах, или лазерах (от первых букв английского названия Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление света с помощью вынужденного излучения). Лазеры генерируют в видимой, инфракрасной и ближней ультрафиолетовой областях (в оптическом диапазоне). Идея качественно нового принципа усиления и генерации электромагнитных волн, примененная в мазерах (генераторы и усилители, работающие в сантиметровом диапазоне радиоволн) и лазерах, принадлежит российским ученым Н. Г. Басову (р. 1922) и А. М. Прохорову (р. 1916) и американскому физику Ч. Таунсу (р. 1915), удостоенным Нобелевской премии 1964 г.

Элементы физики твердого тела Понятие о зонной теории твердых тел Используя уравнение Шредингера — основное уравнение динамики в нерелятивистской квантовой механике, — в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.

Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Фотопроводимость полупроводников — увеличение электропроводности полупроводников под действием электромагнитного излучения — может быть связана со свойствами как основного вещества, так и содержащихся в нем примесей. В первом случае при поглощении фотонов, соответствующих собственной полосе поглощения полупроводника, т. е. когда энергия фотонов равна или больше ширины запрещенной зоны (hn ³ DE), могут совершаться перебросы электронов из валентной зоны в зону проводимости , что приведет к появлению добавочных (неравновесных) электронов (в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне). В результате возникает собственная фотопроводимость, обусловленная как электронами, так и дырками.

Термоэлектрические явления и их применение Согласно второму закону Вольта, в замкнутой цепи, состоящей из нескольких металлов, находящихся при одинаковой температуре, э.д.с. не возникает, т. е. не происходит возбуждения электрического тока. Однако если температура контактов не одинакова, то в цепи возникает электрический ток, называемый термоэлектрическим. Явление возбуждения термоэлектрического тока (явление Зеебека), а также тесно связанные с ним явления Пельте и Томсона называются термоэлектрическими явлениями.0

Полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы) Односторонняя проводимость контактов двух полупроводников (или металла с полупроводником) используется для выпрямления и преобразования переменных токов. Если имеется один электронно-дырочный переход, то его действие аналогично действию двухэлектродной лампы—диода. Поэтому полупроводниковое устройство, содержащее один p-n-переход, называется полупроводниковым (кристаллическим) диодом. Полупроводниковые диоды по конструкции делятся на точечные и плоскостные.

Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое числа

Ядерные силы. Модели ядра Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами.

Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц Практически все методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений (a, b, g) и частиц основаны на их способности производить ионизацию и возбуждение атомов среды. Заряженные частицы вызывают эти процессы непосредственно, а g-кванты и нейтроны обнаруживаются по ионизации, вызываемой возникающими в результате их взаимодействия с электронами и ядрами атомов среды быстрыми заряженными частицами. Вторичные эффекты, сопровождающие рассмотренные процессы, такие, как вспышка света, электрический ток, потемнение фотопластинки, позволяют регистрировать пролетающие частицы, считать их, отличать друг от друга и измерять их энергию.

Ядерные реакции — это превращения атомных ядер при взаимодействии с элементарными частицами (в том числе и с g-квантами) или друг с другом. Наиболее распространенным видом ядерной реакции является реакция, записываемая символически следующим образом

Цепная реакция деления Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деления — ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции деления является требование k ³ 1.

Понятие о ядерной энергетике Большое значение в ядерной энергетике приобретает не только осуществление цепной реакции деления, но и управление ею. Устройства, в которых осуществляется и поддерживается управляемая цепная реакция деления, называются ядерными реакторами. Пуск первого реактора в мире осуществлен в Чикагском университете (1942) под руководством Э. Ферми, в России (и в Европе) — в Москве (1946) под руководством И. В. Курчатова.

Типы взаимодействий элементарных частиц Согласно современным представлениям, в природе осуществляется четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.

Математика примеры решения задач Лекции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны Уравнения прямых и кривых на плоскости Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Показательные и логарифмические уравнения Математическое ожидание и дисперсия

Дифференцирование и интегрирование функций

• Физический смысл производной Частные производные В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V .
• Определенные интегралы в физике Мы уже упоминали, что интегральное исчисление применяется для нахождения пути, пройденного материальной точкой, по закону изменения его скорости. Какие еще задачи решают при помощи понятия интеграла в физике?
• Несобственные интегралы Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.
• Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
• Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
• Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п

Применение пределов в экономических расчетах

• Производная, правила и формулы дифференцирования На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.
• Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений
• Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
• Основные методы интегрирования Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме. Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной.
• Использование интегралов в экономических расчетах
• Дифференциальные уравнения Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения.

Интеграл производная геометрический смысл

• Первообразная Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию
• Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на нем. Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
• Геометрические приложения двойного интеграла
• Тройной интеграл в декартовых координатах
• Исследование функций при помощи производных Возрастание и убывание функции Теорема Лагранжа.
• Выпуклость функции и точки перегиба Достаточные условия наличия точки перегиба Построение графиков функций
• Построение кривых, заданных параметрически