Дифференцирование и интегрирование функций

Производные элементарных функций Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций. Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного:

Физический смысл производной

Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем несколько примеров.

Производные второго порядка Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Линеаризация элементарных функций

Правило Лопиталя

Частные производные В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V .

Определенные интегралы в физике Мы уже упоминали, что интегральное исчисление применяется для нахождения пути, пройденного материальной точкой, по закону изменения его скорости. Какие еще задачи решают при помощи понятия интеграла в физике?

Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Задача Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Несобственные интегралы Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Понятие дифференциального уравнения Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать: ma =– kv .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y = y ( x , C 1, C 2,…, C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n . Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона) не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату. Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий

Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка . Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности .

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Системы линейных уравнений общего вида В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Числа и называются соответственно пределом справаи пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы .

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Пример. Найти  ( ). Найти . Найти 1) ; 2) ; 3) .

Расчет характеристик надежности Надежность информационных систем Типовые примеры и их решения