Дифференцирование и интегрирование функций

Термех статика
Элементы кинематики
Основные понятия
сопративления материалов
Теория прочности
Интенсивность отказов
Типовые примеры и
их решения
Методы расчета
Прикидочный расчет
Ориентировочный расчет
Окончательный расчет
Общее резервирование
Раздельное резервирование
Скользящее резервирование
Последействие отказов
Системы передачи
информации
Понятие предела функции
Дифференцирование и
интегрирование функций
Применение пределов в
экономических расчетах
Интергал производная
геометрический смысл
Системы линейных уравнений
Элементы теории матриц
Дифференциальное и
интегральное исчисление
экстремум функции
Неопределенный интеграл
Функция нескольких переменных
Дифференциальные уравнения
первого порядка
Производные высших порядков
Свойства производных
Производная показательной
и логарифмической функции
Импульсы
асинхронная линия
уровни сигнала
избыточность
цифровой сигнал
прямая обработка
структуры циклов
стратегии поиска
добавочный канал
регенератор
Цикловая синхронизация
Проверка по избыточности
Скорость передачи
Ошибки
Ретроспективные выставки
Синхронная передача
Контроллеры и накопители
на жестких дисках
накопитель на жестком диске
плотность записи
Способы кодирования данных
Частотная модуляция
Форматирование дисков
Зонная запись
Форматирование высокого
уровня
Температурная нестабильность
Характеристики накопителей
Парковка головок
Интерфейсы накопителей
на жестких дисках
Кабели питания Disk Manager
интерфейс SCSI plug-and-play
Конфигурирование системы
дефекты
Разбиение жестких дисков
Коды аппаратных ошибок
Неисправен блок питания
Искусство Древнего Мира
Проектирование печатных плат
Visual Basic .NET
Выражения операторы
Классы и объекты
Наследование и интерфейсы
Обработка событий
Формы Windows
Многопоточные приложения
Взаимодействие операционной
системы
Операционная система Linux
Конфигурирование X Windows
Работа и конфигурирование
GNOME и X WINDOWS

Производные элементарных функций Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций. Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного:

Физический смысл производной

Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем несколько примеров.

Производные второго порядка Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Линеаризация элементарных функций

Правило Лопиталя

Частные производные В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V .

Определенные интегралы в физике Мы уже упоминали, что интегральное исчисление применяется для нахождения пути, пройденного материальной точкой, по закону изменения его скорости. Какие еще задачи решают при помощи понятия интеграла в физике?

Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Задача Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Несобственные интегралы Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Понятие дифференциального уравнения Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать: ma =– kv .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y = y ( x , C 1, C 2,…, C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n . Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона) не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату. Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий

Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка . Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности .

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Системы линейных уравнений общего вида В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Числа и называются соответственно пределом справаи пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы .

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Пример. Найти  ( ). Найти . Найти 1) ; 2) ; 3) .

Расчет характеристик надежности Надежность информационных систем Типовые примеры и их решения