Интергал производная геометрический смысл

Дифференциальные уравнения

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n -го порядка содержит n произвольных постоянных с 1 , с 2,..., c n и имеет вид

y = j (x, с 1 , с 2,..., c n ).

Если соотношение, связывающее x, y и n произвольных постоянных, получено в виде, не разрешенном относительно y -

Ф (x, y, с 1, с 2,..., c n) = 0,

то будем называть такое соотношение общим интегралом уравнения (9.1).

В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с 1 , с 2,..., c n придают конкретные числовые значения.

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

y(x o ) = y o, y ¢ (x o ) = y o ¢ ,..., y (n-1) (x o ) = y o (n-1),

по которым определяются n постоянных с 1 , с 2,..., c n. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет общий вид

F(x, y, y ¢ ) = 0,

или вид, разрешенный относительно y ¢ :

y ¢ = f(x, y).

Учебное пособие «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании» может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осуществляющих экономическое образование с широким спектром требований.
Определенные интегралы в физике