Интергал производная геометрический смысл

Дифференциальные уравнения

Пример. Найти общее решение уравнения y ¢ = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = ò 3x dx, y = 3x 2 /2 + C,

где - произвольная постоянная. Придавая конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

y = 3x 2 /2 (С= 0),

y = 3x 2 /2 + 5 (С = 5)

и т.д.

Пример. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Y o обозначает начальную денежную сумму, а Y x - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Y x+1 = (1+r)Y x,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Y x+1/2 = (1 + r/2)Y x,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Y x+1/n = (1 + r/n)Y x,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h , то предыдущее равенство перепишется так:

.

Неограниченно увеличивая n (при n ® ¥ , h ® 0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Y x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Y x = e r x+C, или Y x = P e r x, где через P обозначено e C.

Учитывая начальное условие Y(0) = Y o, найдем P: Y o = Pe o, следовательно, Y o = P. Решение имеет вид:

Y x =Y o e r x.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Учебное пособие «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании» может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осуществляющих экономическое образование с широким спектром требований.
Определенные интегралы в физике