Интергал производная геометрический смысл

Дифференциальные уравнения

Пример. Решить уравнение y ¢¢¢ = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

y ¢¢ = ò cos x dx = sin x + C 1,

y ¢ = ò (sin x + C 1 )dx = - cos x + C 1 x + 2,

y = ò (- cos x + C 1 x +C 2 )dx = - sin x + C 1 x 2 /2 +C 2 x+C 3.

Итак, общее решение

y = - sin x + C 1 x 2 /2 +C 2 x+C 3.

В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид:

р o (x)y (n) (x) + р 1 (x)y (n- 1) (x) +... + р n - 1 (x)y ¢ (x) + р n (x)y(x) = f(x), (9.2)

где р o (x), р 1 (x),..., р n (x), f(x) - данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

o (x)y (n) (x) + 1 (x)y (n- 1) (x) +... + р n - 1 (x)y ¢ (x) + р n (x)y(x) = 0. (9.3)

Если коэффициенты р o (x), р 1 (x),..., р n (x) постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:

o y (n) (x) + р 1 y (n- 1) (x) +... + р n - 1 y ¢ (x) + р n y(x) = f(x) (9.4)

и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:

o y (n) (x) + р 1 y (n- 1) (x) +... + р n - 1 y ¢ (x) + р n y(x) = 0. (9.5)

Без ограничения общности можно положить р o = 1 и записать уравнение (9.5) в виде

y (n) (x) + р 1 y (n- 1) (x) +... + р n - 1 y ¢ (x) + р n y(x) = 0. (9.6)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e kx, где k - постоянная . Имеем: y ¢ = k e kx, y ¢¢ = k 2 e kx,..., y (n) = k n e kx . Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:

e kx (k n + р 1 k n-1 +... + р n-1 k + р n ) = 0.

Т.к. e kx ¹ 0, то

k n + р 1 k n-1 +... + р n-1 k + р n = 0. (9.7)

Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n -й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k 1, k 2,..., k n - действительные и различные корни уравнения (9.7), то - частные решения уравнения (9.7), а общее имеет вид

y = .

Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y ¢¢ + р y ¢ +qy = 0. (9.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид

k 2 + р k + q=0 (9.9)

и в зависимости от значения дискриминанта D = р 2 - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k 1 и k 2 уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:

y = c 1 ex р ( k 1 x) + c 2 ex (k 2 x).

2. Если D = 0, т.е. корни k 1 и k 2 действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c 1 + c 2 x) ex (k 1 x).

3. Если D<0, то корни комплексные, k 1 = a + b i, k 2 = a - b i, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково:

y = (c 1 cos b x+c 2 sin b x) ex ( a x).

Учебное пособие «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании» может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осуществляющих экономическое образование с широким спектром требований.
Определенные интегралы в физике