Интергал производная геометрический смысл

Дифференциальные уравнения

Пример. Решить уравнение y ¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k 2 - 1 = 0, корни которого k 1 = 1, k 2 = -1 действительны и различны. Общее решение:

y = c 1 e x + c 2 e -x.

Пример. Найти общее решение уравнения y ¢¢ - 4y ¢ + 4y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде:
k 2 -4k +4 = 0 или (k - 2) 2 = 0, т.е. имеет равные корни k 1 = k 2 =2, значит, общее решение данного уравнения находится по формуле:

y = e 2x (c 1 +c 2 x).

Пример. Найти общее решение уравнения y ¢¢ +9y = 0.

Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k : k 2 +9 = 0, откуда k = ± 3i, Þ a = 0, b = 3, значит, общее решение имеет вид:

y = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. о паутинообразной модели в параграфе 10). Если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

D = a +aP, S = b +bP,

l есть постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:

+ l (b - a) P = l ( a - b ).

В качестве частного решения можно взять постоянную

P = ` P = ( a - b )/(b - a),

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение = P - ` P удовлетворяет тогда однородному уравнению

+ l (b - a) = 0. (9.10)

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение, в котором неизвестная обозначена через k, будет следующее:

k 2 + l (b - a) = 0.

В обычном случае (a<0, b>0, l >0) член l (b - a) положителен. Введем обозначение w = . Тогда корни характеристического уравнения будут k 1,2 = ± i w . Следовательно, общее решение уравнения (9.10) имеет вид:

= C cos ( w t- e ),

где C и e представляют собой произвольные постоянные, которые определяются единственным образом, если заданы начальные условия. Следовательно, присоединив ` P, получим закон изменения цены во времени:

P = ` P+ C cos ( w t- e ).

Учебное пособие «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании» может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осуществляющих экономическое образование с широким спектром требований.
Определенные интегралы в физике