Интергал производная геометрический смысл

Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x , его функции Y x и разностей различных порядков этой функции D Y x , D 2 Y x, D 3 Y x,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:j ( x , Y x , D Y x , D 2 Y x D 3 Y x, D n Y x ) = 0, (10.1)

которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.

Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Разностное уравнение (10.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить D Y x , D 2 Y x, D 3 Y x,... через Y x , Y x+1 , Y x+2,.... Уравнение (10.1) можно привести к одной из двух форм:

y ( x , Y x , Y x+1,..., Y x+n ) = 0, (10.2)

x ( x , Y x , Y x-1,..., Y x -n ) = 0. (10.3)

Общее дискретное решение Y x обыкновенного разностного уравнения n -го порядка представляет функцию x ( x = 0, 1. 2,...), содержащую ровно n произвольных постоянных:

Y x = Y(x, C 1, C 2 ,..., C n ).

Паутинообразная модель . Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими функциями спроса и предложения:

D = D( P), S = S(P).

Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или

D( P) = S(P).

Цена равновесия ` P задается этим уравнением (которое может иметь множество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через ` X, - следующим уравнением:

` X = D ( ` P) = S( ` P).

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на один интервал:

D t = D (P t ) S t = S (P t-1 ).

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие модели таково: заданном P t-1 предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S (P t-1 ), и величина P t должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, P t и объем покупок-продаж X t характеризуются уравнением:

X t = D (P t ) = S (P t-1 ).

Итак, зная исходную цену P o , с помощью этих уравнений мы можем получить значения P 1 и X 1. Затем, используя имеющуюся цену P 1, из соответствующих уравнений получим значения P 2 и X 2 и т.д. В общем изменение P t характеризуется разностным уравнением первого порядка ( одноинтер­вальное отставание):

D (P t ) = S (P t-1 ).

Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, где D и S - соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями ` P и ` X) соответствует точке их пересечения Q. Цена в начальный момент времени равна P o . Соответствующая точка Q o на кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенный объем товара раскупается при цене P 1, заданной точкой Q 1 на кривой D с той же ординатой (X 1 ), что и Q o . Во второй период времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q 1 к точке на кривой S, дающей X 2, а затем по горизонтали - к точке Q 2 на кривой D. Последняя точка характеризует P 2. Продолжение этого процесса и дает график паутины, показанный на рис. 5. Цены и объемы (покупок - продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q 1, Q 2, Q 3,... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены P t стремятся к ` P, располагаясь поочередно по обе стороны от ` P. Точно так же обстоит дело и с объемами покупок - продаж (X t ).

Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = a + aP , S = b + bP . Значения равновесия ` P и ` X будут заданы уравнениями

` X = a +a ` P = b +b ` P,

то есть

` P = ( a - b )/(b - a), ` X = (b a - a b )/(b - a). (10.4)

Дискретная динамическая модель задается уравнением

X t = a + aP t = b + bP t-1. (10.5)

Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим P t = ` P, X t = ` X для всех значений t :

` X = a +a ` P = b +b ` P. (10.6)

Получаем те же значения ` P и ` X, что и в (10.4). Следовательно, если в каком-либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (10.5) они сохранятся и в последующих периодах.

Вычтем уравнение (10.6) из (10.5) и положим t = P t - ` P, x t = X t - ` X. Тогда

x t = a t = b t-1. (10.7)

Уравнения (10.7) аналогичны (10.5), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c = b / a и подставим его в уравнение (10.7), так что разностное уравнение относительно р t будет

t = c t-1. (10.8)

При данном значении o в момент t = 0 из (10.8) получаем решение:

t = o c t,

P t = ` P + ( P o - ` P) c t.

Определение функции. Способы задания функции. Основные свойства функций. Классификация функций. Понятие сложной и обратной функций. Неявная функция. Применение функций в экономике (функции спроса и предложения, функции полезности, производственная полезность, функция издержек).
Определенные интегралы в физике