Дифференцирование и интегрирование функций

Предел функции

 

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

График 1.3.6.3.

Предел функции в точке a  = 0 равен 0: Предел функции в точке a  = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции в точке a  = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f  (0) = 1.

Если функция f  ( x ) имеет предел в точке a , то этот предел единственный.

Число A 1 называется пределом функции f  ( x ) слева в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A 2 называется пределом функции f  ( x ) справа в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a . Их часто называют односторонними пределами . В обозначении односторонних пределов при x  → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a , что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x )| > ε, то говорят, что функция f  ( x ) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x  = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε, то говорят, что предел функции f  ( x ) при x , стремящемся к плюс бесконечности, равен A :

При решении различных задач, связанных со случайными явлениями, современная теория вероятностей широко пользуется аппаратом случайных величин. Для того чтобы пользоваться этим аппаратом, необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величии
Математика примеры решения задач