Применение пределов в экономических расчетах

Частные производные

В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V . Если каждому набору аргументов …, ставится в соответствие число то говорят, что задана функция n переменных y = f ( x 1, x 2,…, x n ).

Число A называется пределом функции f ( x 1, x 2,…, x n ) по подмножеству M области определения функции при ( x 1 ; x 2 ;…; x n )→( a 1 ; a 2 ;…; a n ), если для любого ε>0 существует такое δ>0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A ) с подмножеством M для всех x =( x 1 ; x 2 ;…; x n ) выполняется неравенство | f ( x )– A |<ε.

В этом случае пишут

Пусть функция двух переменных f ( x , y ) определена в некоторой окрестности точки ( x 0 ; y 0 ). Пределом функции f ( x , y ) в точке ( x 0 ; y 0 ) по направлению l =(cosα,sinα) называется число где L – луч, выходящий из точки ( x 0 ; y 0 ) в направлении l .

Пусть функция f ( x 1, x 2,…, x n ) определена в окрестности точки a =( a 1 ; a 2 ;…; a n ). Рассмотрим функцию одной переменной f ( x 1, a 2,…, a n ). Она может иметь производную по своей переменной x 1. Такая производная по определению называется частной производной в точке

Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным.

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.

Функция f ( x 1, x 2,…, x n ) называется дифференцируемой в точке a =( a 1 ; a 2 ;…; a n ), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A 1, A 2,…, A n , что Функция f ( x 1, x 2,…, x n ) дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности a функция f ( x ) может быть представлена в следующем виде: где функции непрерывны в точке a .

Если функция дифференцируема в точке a , то в окрестности a существуют все частные производные и Обратное, вообще говоря, неверно.

Пусть функция f ( x , y , z ) дифференцируема в точке A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ). Назовем градиентом функции вектор

Градиент функции обозначается как Геометрически направление градиента функции совпадает с направлением наискорейшего возрастания величины, задаваемой этой функцией, а его модуль равен частной производной этой функции по данному направлению. В физике градиент используется, например, для формулы связи потенциальной энергии и силы:

Например, градиент однородного поля U = kx , изменяющегося только по оси OX , равен

Еще раз подчеркнем, что градиент – векторная функция от скалярного аргумента.

Операторный метод берет начало со времени анализа беско­нечно малых величин, когда были обнаружены определенные ана­логии между дифференциально-интегральными и алгебраически­ми уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по опера­ционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др.
Физический смысл производной