Применение пределов в экономических расчетах

Несобственные интегралы

Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Пусть f ( x ) определена при x ≥ a и интегрируема на отрезке [ a ;ξ], где ξ≥ a . Если существует конечный предел то говорят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке [ a ;+∞), а несобственный интеграл сходится:

Если не имеет конечного предела при ξ→+∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл

Практикум по решению математических задач Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Так, интеграл сходится и равен Этот ответ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX .

Пусть функция f ( x ) определена на конечном промежутке [ a ; b ) и интегрируема на отрезке [ a ;ξ] при любом Если существует конечный предел то говорят, что несобственный интеграл от функции f ( x ) на промежутке [ a ; b ) сходится:

Если не имеет конечного предела при ξ→ b , то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл для функции, определенной на ( a ; b ].

Если функция f определена на отрезке [ a ; b ] за исключением точки и интегрируема на отрезках [ a ;ξ] и [η; b ] при любых ξ и η таких, что a ≤ξ< c <η≤ b , то несобственный интеграл от функции f на промежутке [ a ; b ] обозначается и равен

В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что функция f определена на [ a ; b ), где a – конечная точка, b – конечная точка либо +∞, и функция f интегрируема на [ a ;ξ] при любом В этих предположениях несобственные интегралы обладают следующими свойствами:

Операторный метод берет начало со времени анализа беско­нечно малых величин, когда были обнаружены определенные ана­логии между дифференциально-интегральными и алгебраически­ми уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по опера­ционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др.
Физический смысл производной