Применение пределов в экономических расчетах

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным , если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f ( x ) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным ; в противном случае оно называется неоднородным .

Принцип суперпозиции. Если и – решения однородного уравнения то y ( x )=α 1 y 1 ( x )+α 2 y 2 ( x ) при любых постоянных α 1 и α 2 является решением однородного уравнения.

Если и – решения неоднородного уравнения то их разность y ( x )= y 1 ( x )– y 2 ( x ) есть решение однородного уравнения Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения

Уравнение вида где a 1, …, a n – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами .

Всякое решение однородного уравнения первого порядка имеет вид где C – постоянная.

Уравнение вида где P m ( x ) – многочлен степени m , μ – постоянная, имеет частное решение вида если μ≠λ, и вида если μ=λ. Здесь Q m ( x ) – многочлен степени m .

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m , то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m –1.

Уравнение где ω>0, называется уравнением гармонических колебаний . Его нетривиальным решением является функция вида x ( t )= C 1 cosω t + C 2 sinω t , где C 1, C 2 – постоянные. Эту функцию можно представить в виде x ( t )= A cos(ω t –φ), где

Уравнение сводится к трем случаям:

Операторный метод берет начало со времени анализа беско­нечно малых величин, когда были обнаружены определенные ана­логии между дифференциально-интегральными и алгебраически­ми уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по опера­ционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др.
Физический смысл производной