Применение пределов в экономических расчетах

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

ê x n - a ê < e . (6.1)

Записывают это следующим образом: или x n ® a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- e < x n < a + e , (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся. Электромагнитное взаимодействие Решение задач по физике, электротехнике, математике

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

К кривой  в точках с абсциссами   и проведены касательные. При каком значении b периметр треугольника, образованного проведенными касательными и осью Oy, будет наименьшим? Практикум по решению математических задач

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < ½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функ­ций времени заменяются соответствующими операциями умноже­ния и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему диффе­ренциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегри­рования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.
Физический смысл производной