Применение пределов в экономических расчетах

Производная, правила и формулы дифференцирования

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u m )' = m u m - 1 u' ( m Î R ).

2. ( a u )' = a u lna × u'.

3. ( e u )' = e u u'.

4. (log a u)' = u' /( u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. ( sin u)' = cos u × u'.

7. (cos u)' = - sin u × u'.

8. (tg u)' = 1/ cos 2 u × u'. Метод замены переменной Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной

9. ( ctg u)' = - u' / sin 2 u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. ( arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u' /( 1 + u 2 ).

13. (arcctg u)' = - u' /( 1 + u 2 ).

Вычислим производную степенно-показательного выражения
y=u v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'.

Прологарифмировав равенство y=u v, получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).

Итак ,

(u v )'=u v (vu'/u+v' ln u), u > 0.

Например, если y = x sin x, то y' = x sin x (sin x/x + cos x × ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y', то = y'+ a , где a ® 0 при D х ® 0; отсюда D y = y' D х + a x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно D х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' D х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x' D х = 1 × D х = D х, поэтому dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции D y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал d y есть приращение ординаты касательной.

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармониче­ские колебания, уровни постоянных напряжений, последователь­ность прямоугольных импульсов и так далее.
Физический смысл производной