Применение пределов в экономических расчетах

Производная, правила и формулы дифференцирования

Пример. Найти производную сложной функции y= , u=x 4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y' x =y ' u u' x =( )' u (x 4 +1)' x =(2u + . Так как u=x 4 +1,то
(2 x 4 +2+ .

Пример. Найти производную функции y= .

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e u и u = x 2. Имеем: y' x =y ' u u' x = (e u )' u (x 2 )' x = e u × 2x. Подставляя x 2 вместо u, получим y=2x .

Пример. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)' u (sin x)' x = .

Пример. Найти производную функции y= . Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/ 3ln( 3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармониче­ские колебания, уровни постоянных напряжений, последователь­ность прямоугольных импульсов и так далее.
Физический смысл производной