Применение пределов в экономических расчетах

Частные производные. Метод наименьших квадратов.

Пусть D( x , y ) - некоторое множество точек плоскости Oxy . Если каждой упорядоченной паре чисел ( x , y ) из области D соответствует определенное число z Î Z Ì R, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y . Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, D - областью определения, или существования, функции, а множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде z = f ( x , y ), z = z ( x , y ),
z = F( x , y ) и т.д. Например, объем цилиндра V = p R 2 Н есть функция от радиуса R его основания и от высоты Н, т.е. V = f (R, Н), которая дает возможность, зная значения независимых переменных R и Н, установить соответствующее значение для V.

В экономических исследованиях часто используется производственная функция Кобба-Дугласа , где z - величина общественного продукта, x - затраты труда, y - объем производственных фондов (обычно z и y измеряются в стоимостных единицах, x - в человеко-часах); A, a , b - постоянные. Функция Кобба-Дугласа является функцией двух независимых переменных: z = f ( x , y ). Частное значение функции z = f ( x , y ) при x = x o , y=y o обозначается z o = f ( x o , y o ). Геометрически область определения функции D представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается D, во втором случае - открытой. Наподобие того, как функция y = f ( x ) геометрически иллюстрируется своим графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f ( x , y ). Возьмем в пространстве R 3 прямоугольную систему координат и изобразим на плоскости Oxy область D. В каждой точке M( x , y ) Î D восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy и отложим на нем значение z = f ( x , y ). Геометрическое место полученных таким образом точек и явится своего рода пространственным графиком нашей функции. Это будет, вообще говоря, некоторая поверхность, поэтому уравнение z = f ( x , y ) называется уравнением поверхности. Пара значений x и y определяет на плоскости Oxy точку M( x , y ), а z = f ( x , y ) - аппликату соответствующей точки P( x , y , z ) на поверхности. Поэтому говорят, что z есть функция точки M( x , y ) и пишут z = f (M).

Функция f (M) имеет предел A, , если разность f (M) - A есть бесконечно малая, когда r = M o M ® 0 при любом способе приближения M к M o (например, по любой линии).

Функция f ( x , y ) называется непрерывной в точке M o , если .

В книге «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании» изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных экономических приложениях: математический анализ функций одной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейного программирования и оптимального управления.
Физический смысл производной