Применение пределов в экономических расчетах

Частные производные. Метод наименьших квадратов.

Пример. Исследовать функцию z = y 4 - 2xy 2 + x 2 + 2y + y 2 на экстремум.

Решение. Находим частные производные: = - 2y 2 + 2x, = 4y 3 - 4xy +2 +2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений: .

Итак, M o (1,-1) -единственная точка, “подозрительная на экстремум”. Находим вторые частные производные: , следовательно, A=2, B=4, С=10, D = 4, т.е. D > 0, функция имеет экстремум в точке M o - минимум (A>0). Вычислим z min = (-1) 4 - 2 × 1 × (-1) 2 +1 - 2 +1 = -1.

В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из распространенных приемов построения таких формул является метод наименьших квадратов. Изложим идею этого способа, ограничиваясь случаями линейной и квадратичной зависимости. Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y , например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции. Произведем обследование n видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы: Монотонность функций математика решение задач

x

x 1

x 2

...

x n

y

y 1

y 2

...

y n

Из анализа таблицы нелегко обнаружить наличие и характер зависимости между x и y . Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки, взятые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить ,ч то между x и y существует линейная зависимость ` y= ax+b , где a и b - коэффициенты, подлежащие определению, ` y - теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”, можно графически найти b и a=tg a , однако это будут весьма неточные результаты. Для нахождения a , b применяют метод наименьших квадратов.

Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b - ` y=0. Точки, построенные на основе опытных данных, вообще говоря, не лежат на этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x ` y заданные величины x i и y i , то окажется, что левая часть уравнения
равна какой-то малой величине e i = ` y i - y i ; а именно: для первой точки
ax 1 + b - y 1 = e 1, для второй - ax 2 + b - y 2 = e 2, для последней -
ax n + b - y n = e n . Величины e 1 , e 2 ,..., e n , не равные нулю, называются погрешностями. Геометрически это разность между ординатой точки на прямой и ординатой опытной точки с той же абсциссой. Погрешности зависят от выбранного положения прямой, т.е. от a и b . Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u = была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим в выражение для u вместо e i их значения.

u = (ax 1 + b - y 1 ) 2 + (ax 2 + b - y 2 ) 2 +... + ( ax n + b - y n ) 2, u = u( a,b ),

где x i , y i известные величины, a и b - неизвестные, подлежащие
определению. Выберем a и b так, чтобы u ( a,b ) имело наименьшее
значение. Необходимые условия экстремума , . Имеем:
= 2(ax 1 + b - y 1 )x 1 +... +2 (ax 1 + b - y 1 ) x n , = 2(ax 1 + b - y 1 ) +... +
+ 2 (ax 1 + b - y 1 ).

Получаем систему :

.

Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическую формулу ` y = ax + b . Пусть теперь точки на графике располагаются вблизи некоторой параболы так, что между x и y можно предположить квадратичную зависимость: ` y=ax 2 + bx + c , тогда . Тогда u = = . Здесь u = u ( a , b , c ) - функция трех независимых переменных a , b , c . Необходимые условия экстремума , , в этом случае примут следующий вид:

.

Получили нормальные уравнения способа наименьших квадратов для квадратичной зависимости ` y = ax 2 + bx + c , коэффициенты которой находим, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

В книге «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании» изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных экономических приложениях: математический анализ функций одной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейного программирования и оптимального управления.
Физический смысл производной