Применение пределов в экономических расчетах

Основные методы интегрирования

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f ( z ) непрерывна на [ a , b ], функция z=g ( x ) имеет на [ a,b ] непрерывную производную и a £ g ( x ) £ b , то

ò f( g(x)) g ¢ (x) dx = ò f(z) dz , (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g ( x ).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

ò f( g(x)) g ¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x). Квадратный трехчлен математика решение задач

Например:

1) ;

2) .

Пусть u = f ( x ) и v = g ( x ) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d ( uv )= udv + vdu или udv = d ( uv ) - vdu .

Для выражения d ( uv ) первообразной, очевидно, будет uv , поэтому имеет место формула:

ò udv = uv - ò vdu . (8.4)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx .

Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx . Положим u = x , dv = cos x dx , так что du=dx , v=sinx . Тогда

ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

В книге «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании» изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных экономических приложениях: математический анализ функций одной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейного программирования и оптимального управления.
Физический смысл производной