Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика лекции и примеры решения задач

Дифференциальное исчисление, значение которого для развития науки и техники было вне сомнений, оказалось в парадоксальном положении: чтобы его методами получить точный результат, надо было исходить из ошибочного утверждения.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Основные понятия

Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Число x называется аргументом функции, множество D—областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1<x2, выполняется условие f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться “значение функции в точке х1”. В нижеследующем опре­делении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “числох”. Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Пусть e — некоторое положительное число. e-окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0‑e,x0+e), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x e‑окрестности точки  можно выразить с помощью двойного неравенства

0<êx–x0ç<e.

Число e называется радиусом окрестности.

Предел и непрерывность функции Рассмотрим функцию y=x2 в точке x0=2. Значение функции в этой точке равно 4. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся кx0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y=A.

Приведем свойства предела функции. Введем определения так называемых “односторонних пределов”. Отметим два, так называемых, "замечательных предела"

Производная Ниже приводится таблица производных элементарных функций

Дифференциал функции Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC=0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x))=Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x), d(f(x)g(x))=g(x)df(x)+f(x)dg(x). Если при этом g(x)¹0, то  

Производные высших порядков.

Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f¢(t), а ускорение равно f¢¢(t)

Ньютон пытался обосновать дифференциальное исчисление на законах механики и понятии предела. Но ему не удалось освободить свое исчисление флюксий от недостатков, присущих дифференциальному исчислению Лейбница. В практике вычисления Ньютон, как и Лейбниц, применял принцип отбрасывания бесконечно малых.
Дифференциальные уравнения