Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика лекции и примеры решения задач

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

  f(x)>f(x0).

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

 f(x)<f(x0).

src="ris

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Сформулируем теорему о необходимом условии экстремума функции: если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю. Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

Если f¢(x0)=0, это еще не значит, что в точке x0 есть экстремум. Примером может служить функция y=x3. В точке x=0 её производная равна нулю, но экстремума функция не имеет. График функции изображен на рисунке 3.

Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Как было показано выше, с помощью необходимого условия нельзя определить, является ли данная точка точкой экстремума, тем более указать, какой экстремум реализуется–максимум или минимум. Для того, чтобы отве­тить на эти вопросы, сформулируем и докажем теорему, которая называется достаточным условием экстремума.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда:

1) если f¢(x)<0 на (a;x0) и f¢(x)>0 на (x0;b), то точка x0 – точка минимума функции f(x);

2) если f¢(x)>0 на (a;x0) и f¢(x)<0 на (x0;b), то точка x0 – точка максимума функции f(x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f¢(x)<0 на (a;x0) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) убывает на (a;x0], и для любого xÎ(a;x0) выполняется условие f(x)>f(x0).

Так как f¢(x)>0 на (x0;b) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) возрастает на (x0;b], и для любого xÎ(x0;b) выполняется условие f(x)>f(x0).

В результате получается, что при любом x¹x0 из (a;b) выполняется нера­венство f(x)>f(x0), то есть точка x0 – точка минимума f(x).

Выпуклость и вогнутость функции Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Рассмотрим пример из микроэкономики. В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями частной производной, производной по направлению, градиента, их геометрической и физической интерпретацией и научитесь их вычислять; изучите необходимое и достаточное условия дифференцируемости и их отличие от условий дифференцируемости функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения