Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика лекции и примеры решения задач

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле.

Рассмотрим пример из микроэкономики.

В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q–количества купленного товара. Введём понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной оси

 количество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси–общую полезность TU, как это сделано на рисунке7. В этой системе координат проведем график функции TU=TU(Q). Точка Q0 на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина DQ –добавочный приобретенный товар. Разность DTU=TU(Q0+DQ)–TU(Q0)‑добавочная полезность, полученная от покупки “довеска” DQ. Тогда добавочная полезность от последней приобретенной порции (или единицы количества) товара вычисляется по формуле DTU/DQ (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Эта дробь, как можно видеть, зависит от величины DQ. Если здесь перейти к пределу при DQ®0, то получится формула для определения предельной полезности MU:

 .

Это означает, что предельная полезность равна производной функции полезности TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU(Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями частной производной, производной по направлению, градиента, их геометрической и физической интерпретацией и научитесь их вычислять; изучите необходимое и достаточное условия дифференцируемости и их отличие от условий дифференцируемости функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения