Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика лекции и примеры решения задач

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле.

Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x)=f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x)=f(x)dx, то F(x) ¾ первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x)+C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство.

 (F+C)¢=F¢+C¢=f+0= f

Пример. Вычислить координаты вектора

По определению F + C ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g¢(x)=0.

Доказательство.

Так как g(x)=C, справедливы равенства: g¢(x)=C¢=0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g¢(x)=0 при всех xÎ(a;b), то g(x)=C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g¢(x)=0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1Î(a;b). Тогда для любой точки xÎ(a;b) по формуле Лагранжа имеем

 g(x)–g(x1)=g¢(x)(x–x1)

Так как xÎ(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g¢(x)=0, откуда следует, что g(x)–g(x1)=0, то есть g(x)=g(x1)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G=F+C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G–F: (G–F)¢=G¢–F¢=
=f–f=0. Отсюда следует: G–F=C, где C ¾ число, то есть G=F+C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx=F(x)+C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием. Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x)=f(x) соответствует формула òf(x)dx=F(x)+C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов

Замена переменной в неопределенном интеграле Если функция f(x) непрерывна, а функция j(t) имеет непрерывную производную j¢(t), то имеет место формула òf(j(t))j¢(t)dt =òf(x) dx, где x = j(t).

Формула интегрирования по частям Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv)¢=u¢v+v¢u

Определенный интеграл Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1,x2,x3,¼,xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<¼< xn-1,<b.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x=a; x=b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Определенный интеграл как функция верхнего предела Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция   является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x=a значение, равное нулю.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n®¥;l®0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями частной производной, производной по направлению, градиента, их геометрической и физической интерпретацией и научитесь их вычислять; изучите необходимое и достаточное условия дифференцируемости и их отличие от условий дифференцируемости функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения