Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика лекции и примеры решения задач

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Если функция f(x) непрерывна, а функция j(t) имеет непрерывную производную j¢(t), то имеет место формула

 òf(j(t))j¢(t)dt =òf(x) dx, где x = j(t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры. 1.I = òcos(t3)t2dt.  Пусть t3=x, тогда dx=3t2dt или t2dt=dx/3.

 .

2. . Пусть ln t=x, тогда dx=dt/t.

3. . Пусть x=cos t, тогда dx=-sintdt, и

.

4. . Пусть x=sint, тогда dx=cos dt, и

 .

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями частной производной, производной по направлению, градиента, их геометрической и физической интерпретацией и научитесь их вычислять; изучите необходимое и достаточное условия дифференцируемости и их отличие от условий дифференцируемости функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения