Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика контрольная примеры решения задач

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятием сложной функции нескольких переменных, правилами дифференцирования сложной функции и свойством инвариантности 1-го дифференциала, а также с понятиями касательной плоскости и нормали к поверхности, условиями их существования и уравнениями.

Частные производные

Частной производной по x функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел

 ,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

 ;;.

Частная производная по x есть обычная производная от функции z=f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0):

 =.

В пространстве XYZ условие y=y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P пересекается с графиком функции z=f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции z=f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Дифференциальные уравнения