Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика контрольная примеры решения задач

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятием сложной функции нескольких переменных, правилами дифференцирования сложной функции и свойством инвариантности 1-го дифференциала, а также с понятиями касательной плоскости и нормали к поверхности, условиями их существования и уравнениями.

Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z=f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f¢x(х0,у0) и f¢у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+Dx,y0+Dу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение

  Df(х0,у0)= f(x0+Dx,y0+Dy)–f(x0,y0)=f(R0)–f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

 Df(х0,у0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу+a(Dx;Dу) Dx+b(Dx;Dу)Dу,  (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

 df(x0,y0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу.  (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y)=х и f(x,y)=у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx и Dу. Таким образом

 df=f¢x dх+f¢у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

  ,

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z=f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,

то есть çР0Рç=f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+Dу); (x0+Dx,y0) и (x0+Dx,y0+Dу), причём çQ0Qç=f(Q0), çS0Sç=f(S0) и çR0Rç=f(R0). Приращение Df(х0,у0)функции в точке Р0 равно çRR2ç.

Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно:çQ2Q1ç=f¢y(x0,y0)Dy и çS2S1ç=f¢x(x0,y0)Dx.

Из легко доказываемого равенства

 çR2R1ç=çS2S1ç+çQ2Q1ç

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен çR2R1ç.

Так как df(x0,y0)» Df(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Дифференциальные уравнения