Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика контрольная примеры решения задач

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятием сложной функции нескольких переменных, правилами дифференцирования сложной функции и свойством инвариантности 1-го дифференциала, а также с понятиями касательной плоскости и нормали к поверхности, условиями их существования и уравнениями.

Производная по направлению.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси , равный a.

Определенные интегралы, несобственные интегралы Вычисление площади криволинейной поверхности.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z=f(x,y) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле

 . (5)

Здесь b  ‑ угол между вектором  и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что .

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cosb£1, и равенство достигается только если b=0 (очевидно, что другие решения уравнения cosb=1  нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Пример. Требуется найти производную функции  по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).

Найдем частные производные функции:  Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): . Принимая во внимание равенство , воспользуемся формулой (4):

.

Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Дифференциальные уравнения