Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика контрольная примеры решения задач

Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля.

Метод наименьших квадратов

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S2=(y1–(a0+a1x1))2+(y2–(a0+a1x2))2+...+(yn–(a0+a1xn))2=

  .

Обратим внимание на то, что все xi и yi — известные из таблицы числа, а S2 есть функция двух переменных a0 и a1. Задачи для самостоятельного решения Найти приближенные значения и решений системы уравнений

 S2=S2(a0,a1)


Можно показать, что график функции S2 выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные производные   и  равны нулю, является точкой минимума.

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

  , (2)

.  (3)

На самом деле для фунуции S2=S2(a0,a1) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому.

Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

 . (4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a0 и a1.

Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости  группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y=a0+a1x+a2x2 или y=a0exp(a1x) с параметрами соответственно a0,a1,a2 и a0,a1, подставить ее в выражение  и искать минимум получившейся функции S2 при помощи частных производных по параметрам.

Упражнения

1.Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами.
Дифференциальные уравнения