Дифференциальное и интегральное исчисление Неопределенный интеграл Функция нескольких переменных

Математика контрольная примеры решения задач

Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения. Формула Ньютона-Лейбница Интегрирование по частям

Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде

 F(x,y,y¢) = 0. (1)

Здесь x ‑ независимая переменная, y ‑ её неизвестная функция,  ‑ производная функции y, F ‑ заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y¢.

Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

 y¢ – x4 = 0; xsiny¢ – lny = 0; xcosy + (y¢ – y2)sinx = 0.

Решением уравнения (1) называется такая функция y=j(x), определенная на некотором промежутке (x1,x2), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) полу­чается верное равенство на всем промежутке (x1,x2). Очевидно, что подстановка y=j(x) возможна только тогда, когда функция j(x) на промежутке (x1,x2) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x1,x2) точка с координатами x, y, y¢ принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением.

В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y¢ как функцию независимых переменных x и y:

 y¢ = f(x,y). (2)

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.

Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y=j(x) – решение уравнения (2). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x0,y0) принадлежит области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен

 j¢(x0) = f(x0, j(x0))

Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.

Можно себе представить, что в каждой точке области G построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется полем направлений, задаваемым уравнением (2). Пример приведен на рисунке 1. Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение a0(x)y¢ + a1(x)y=B(x). Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x, равное нулю. Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y(x1) = y1, считая его начальным условием. В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене.

Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде: у¢+a(x)y=b(x) Пример. Решить уравнение  при начальном условии y(1)=2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x=0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F

Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами.
Дифференциальные уравнения