Производные высших порядков

Частные производные

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :

Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

Частные производные высших порядков

Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Определение первообразной и её свойства

Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$

Рассмотрим линейную функцию $ y=f(x)=kx+b$

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.

Найдём производную функции $ f(x)=a^x$

Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$

Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$

Производная композиции

Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Найдём производную функции $ y=\cos^52x$.

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Решите уравнение $ {x^2+2x+5=0}$ .

Символ суммирования

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$.

Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$

Производные функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$.

Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

Производная функции, заданной неявно

Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части

Производные и дифференциалы

Найдём производную функции

$ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

$ y=x^2e^{-2x}$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой $\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Функция $ f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$

Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$.

Расчет характеристик надежности Надежность информационных систем Типовые примеры и их решения