Свойства производных Дифференциал примеры

Термех статика
Элементы кинематики
Основные понятия
сопративления материалов
Теория прочности
Интенсивность отказов
Типовые примеры и
их решения
Методы расчета
Прикидочный расчет
Ориентировочный расчет
Окончательный расчет
Общее резервирование
Раздельное резервирование
Скользящее резервирование
Последействие отказов
Системы передачи
информации
Понятие предела функции
Дифференцирование и
интегрирование функций
Применение пределов в
экономических расчетах
Интергал производная
геометрический смысл
Системы линейных уравнений
Элементы теории матриц
Дифференциальное и
интегральное исчисление
экстремум функции
Неопределенный интеграл
Функция нескольких переменных
Дифференциальные уравнения
первого порядка
Производные высших порядков
Свойства производных
Производная показательной
и логарифмической функции
Импульсы
асинхронная линия
уровни сигнала
избыточность
цифровой сигнал
прямая обработка
структуры циклов
стратегии поиска
добавочный канал
регенератор
Цикловая синхронизация
Проверка по избыточности
Скорость передачи
Ошибки
Ретроспективные выставки
Синхронная передача
Контроллеры и накопители
на жестких дисках
накопитель на жестком диске
плотность записи
Способы кодирования данных
Частотная модуляция
Форматирование дисков
Зонная запись
Форматирование высокого
уровня
Температурная нестабильность
Характеристики накопителей
Парковка головок
Интерфейсы накопителей
на жестких дисках
Кабели питания Disk Manager
интерфейс SCSI plug-and-play
Конфигурирование системы
дефекты
Разбиение жестких дисков
Коды аппаратных ошибок
Неисправен блок питания
Искусство Древнего Мира
Проектирование печатных плат
Visual Basic .NET
Выражения операторы
Классы и объекты
Наследование и интерфейсы
Обработка событий
Формы Windows
Многопоточные приложения
Взаимодействие операционной
системы
Операционная система Linux
Конфигурирование X Windows
Работа и конфигурирование
GNOME и X WINDOWS

Свойства производных Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

Замечания Обозначим функцию $ f(x)$ через $ u$, а функцию $ g(x)$ через $ v$.

Производные некоторых элементарных функций Выше мы уже рассмотрели линейную функцию $ f(x)=kx+b$ и показали, что её производная равна угловому коэффициенту $ k$$\displaystyle (kx+b)'=k.$

Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$. Преобразуем приращение функции следующим образом:

Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$

Примеры Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Дифференциал Определение   Пусть дана функция $ f(x)$, и $ x_0$ -- внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение $ {\Delta}x$ и рассмотрим приращение функции

Производная композиции Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$ -- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$.

Примеры   Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Примеры Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией

Инвариантность дифференциала Рассмотрим функцию $ y=f(u)$. Если предположить, что $ u$ -- независимая переменная, то$\displaystyle dy=df(u;du)=f'_u(u)du.$

Производная обратной функции Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$.

Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {{\varphi}(y)=\sin y}$ ( $ {-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}}$), производная которой равна $ {{\varphi}'(y)=\cos y}$.

Пример Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$:

Сводка основных результатов о производных Для удобства приведём полученные выше результаты в виде таблицы

Производные высших порядков Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$.

Пример Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$.

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность Напомним, что дифференциал функции $ f(x)$ (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой $\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

Производные функции, заданной параметрически Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

Производная функции, заданной неявно Уравнение вида $ F(x;y)=0$, содержащее переменные $ x$ и $ y$, иногда можно разрешить относительно $ y$ и получить в явном виде зависимость $ y=y(x)$.

Приближённое вычисление производных При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производн$ f'(x),f''(x),\dots$ые часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны.

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$ .

Определение производной Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

Геометрическая интерпретация производной Предельное положение хорды, соединяющей точки (x0 , f(x0 )), (x , f(x )) графика, при x® x0 называется касательной к графику функции f(x ) в точке x0 a=arctg=arctg f ¢ (x0).

Дифференциал функции Главная линейная часть приращения функции A Dx в определении дифференцируемости функции Df=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), x®x0

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции Если существуют f¢(x0), g¢(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и

Вычисление производной обратной функции Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b]. Пусть в точке x0Î(a,b) существует f¢(x0) ¹ 0, тогда обратная функция x=f -1(y) имеет в точке y0 производную, равную

Производные элементарных функций

Функции заданные параметрически . Если x, y непрерывны на [ a,b ] и x(t) строго монотонна на отрезке [a , b] (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b] , a=x( a), b=x(b) определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x0Î(a,b) производную g(x)=f¢(x). Если в точке x0 существует g¢( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f ¢¢(x0). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

Вычисление производных функций, заданных неявно Для вычисления производной y¢(x) функции, заданной неявно уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида A(x,y)+B(x,y)y¢=0 , (2)

Формула Лейбница

Дифференциалы высших порядков

Инвариантность формы дифференциала первого порядка Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов ). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.

Расчет характеристик надежности Надежность информационных систем Типовые примеры и их решения