Производная показательной и логарифмической функции

Термех статика
Элементы кинематики
Основные понятия
сопративления материалов
Теория прочности
Интенсивность отказов
Типовые примеры и
их решения
Методы расчета
Прикидочный расчет
Ориентировочный расчет
Окончательный расчет
Общее резервирование
Раздельное резервирование
Скользящее резервирование
Последействие отказов
Системы передачи
информации
Понятие предела функции
Дифференцирование и
интегрирование функций
Применение пределов в
экономических расчетах
Интергал производная
геометрический смысл
Системы линейных уравнений
Элементы теории матриц
Дифференциальное и
интегральное исчисление
экстремум функции
Неопределенный интеграл
Функция нескольких переменных
Дифференциальные уравнения
первого порядка
Производные высших порядков
Свойства производных
Производная показательной
и логарифмической функции
Импульсы
асинхронная линия
уровни сигнала
избыточность
цифровой сигнал
прямая обработка
структуры циклов
стратегии поиска
добавочный канал
регенератор
Цикловая синхронизация
Проверка по избыточности
Скорость передачи
Ошибки
Ретроспективные выставки
Синхронная передача
Контроллеры и накопители
на жестких дисках
накопитель на жестком диске
плотность записи
Способы кодирования данных
Частотная модуляция
Форматирование дисков
Зонная запись
Форматирование высокого
уровня
Температурная нестабильность
Характеристики накопителей
Парковка головок
Интерфейсы накопителей
на жестких дисках
Кабели питания Disk Manager
интерфейс SCSI plug-and-play
Конфигурирование системы
дефекты
Разбиение жестких дисков
Коды аппаратных ошибок
Неисправен блок питания
Искусство Древнего Мира
Проектирование печатных плат
Visual Basic .NET
Выражения операторы
Классы и объекты
Наследование и интерфейсы
Обработка событий
Формы Windows
Многопоточные приложения
Взаимодействие операционной
системы
Операционная система Linux
Конфигурирование X Windows
Работа и конфигурирование
GNOME и X WINDOWS

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x) , область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0 . Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0 , и ее производная определяется формулой

Пример Используя определение, найти производную функции .

Найти производную функции  y(x) = sin x .

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Пример Найти производную функции .

Определить производную функции .

Производная показательной и логарифмической функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1 . Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

Найти производную функции

Продифференцировать . Решение. Используем формулы производной сложной функции и производной частного

Производные гиперболических функций

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x . Например, гиперболические синус и косинус определяются как

Найти производную функции

Доказать равенство   

Производная степенной функции Если f(x) = xp , где p - действительное число, то

Вычислить производную функции

Найти производную функции

Найти производную функции

Производная произведения и частного функций Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Найти производную cтепенной функции с отрицательным показателем .

Пусть . Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции.

Производные тригонометрических функций Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции)

Продифференцировать функцию

Пример Вывести формулу для производной арксинуса.

Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Пример Найти ряд Фурье для функции sign x

Найти ряд Фурье функции , зная, что  

Найти ряд Фурье функции , если известно, что 

Исследовать процесс почленного дифференцирования ряда Фурье функции , заданной на интервале

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Показать, что  

Найти разложение функции в степенной ряд.

Найти представление в виде степенного ряда функции .

Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x .

Производные высшего порядка

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Найти y'', если

Найти все производные функции

Найти все производные функции

Производная неявной функции

Во многих задачах функция  y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1.

Найти уравнение касательной к кривой x 4 + y 4 = 2 в точке (1;1).

Простейшие правила дифференцирования

Пример Найти производную функции , где a и b - константы.

Натуральный логарифм

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x . Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Вычислить .

Схематически изобразить график функции .

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Вычислить производную функции

Вычислить производную функции

Расчет характеристик надежности Надежность информационных систем Типовые примеры и их решения