Производная показательной и логарифмической функции

Проведение касательной прямой к окружности – довольно легкая задача элементарной геометрии. Но провести прямую, касательную к эллипсу или гиперболе в данной точке кривой – очень сложная задача для того, кто не умеет написать уравнение эллипса или гиперболы.

Производная показательной и логарифмической функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1 . Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е, приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с помощью различных компьютерных алгоритмов. Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Если a = е , то получаем красивый результат в виде
Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражением
Для натурального логарифма y = ln x производная равна

Пример. Решить уравнение .

Решение. Положим , подставим в уравнение эти выражения производных и получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p:

. Отсюда . Это уравнение имеет решение или , а , а так же решения, удовлетворяющие уравнению .

Разделим переменные в этом уравнении:

Откуда . Полагая , получим дифференциальное уравнение .

Снова разделим переменные: .

Интегрируя, получим: или . Решение уравнения p=0, то есть y=C, входит в этот общий интеграл при , так как в таком случае и y является постоянным.

Таким образом, получили общий интеграл дифференциального уравнения , где и –произвольные постоянные.

В Древнем мире решать такие задачи умели только гении – вроде Архимеда (280-212 годы до н.э.). Он первый выяснил зеркальные свойства эллипса, параболы и гиперболы. Говорят, что он пытался даже поджечь римский корабль издали – с помощью параболического медного зеркала.
Дифференциальные уравнения первого порядка